역사적 변동성 계산방법

'변동성' 이란 단어는 어떤 분야에서 사용하는가? 에 따라 의미가 조금씩 달라지게 됩니다.

오늘은 '주식시장' 그리고 '금융공학'에서 사용하는 '변동성'에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

'변동성'은 크게 Impiled Volitility 라고 불리우는 내재변동성과 어떠한 주식의 과거 가격을 바탕으로 계산하는 '역사적변동성'이 존재하게 됩니다. 위에서 언급한 '내재변동성'과 '역사적변동성' 이 둘 모두 파생상품의 가치평가에 사용되는 '파라미터'중 하나요소입니다. 처음부터 식을 잡다하게 나열해서 설명하기는 싫고, 개념부터 설명드리고 이 개념을 이해하면, 어떠한 변동성이 나오게 되더라도 쉽게 이해하실 수 있습니다. 

 

개념은 '확률'입니다. 확률? 아니 변동성이 뭐가 확률이야?? 라고 할 수 있지만, 변동성 개념은 확률분포이고 이 확률분포가 결국 변동성 입니다. 쉽게 접근해서, '자연수'라고 했을때, 우리는 1부터 100? 1000? 10000? 그냥 모든 수를 상상할 수 있습니다. 그렇지만 '주사위'에 적혀있는 숫자! 라는 제약을 두면, 1,2,3,4,5,6 딱 6가지의 숫자만을 떠올리게 됩니다. 자 그러면, 이 6자리 숫자가 의미하는것은 수학적인 의미보다 '주사위를 던지면 1~6 사이의 자연수가 나온다.' 라는 사실이 얻을 수 있습니다. 

 이제 질문을 조금 다르게 해보겠습니다. 제 키가 170cm 라고 했을때, '한 걸음걸이로 움직이는 거리는 몇 미터일까?' 라는 질문에 어떠한 거리를 이동할것인지 아무도 모릅니다. 하지만 최대치는 알 수 있습니다. 제가 뛰지않는 이상 제키보다너 큰 거리는 이동하지 못하기 대문에 '0 ~ 170cm' 이 사이만큼 이동할것이다! 라는 예측을 할 수 있습니다. 

 자! 이제 주식으로 생각해 봅시다. 삼성전자의 주식이 오늘 50000만원이라고 할때 내일 '삼성전자의 주식이 얼마가 될까?' 라는 질문을 앞서 했던 접근 방식으로 생각 할 수 있습니다. 그러면 삼성전자의 속성을 알아야 하고, 우리나라의 주식시장의 속성을 알아야합니다. 우리나라의 주식시장의 구조상 KOSPI 종목은 하루에 최대 30%이상 그리고 최대 30%이하로 떨어질 수 없습니다. ( 50000만원의 30%는 15000원 입니다. ) 그러면 내일 삼성전자의 주가는 아마도 이렇게 이야기 할 수 있습니다. 

최소주가는 50000원 - ( 삼성전자 주식의 30% ) -> 35000원 

최대주가는 50000원 + ( 삼성전자 주식의 30% ) -> 65000원

즉, 35000원 ~ 65000원 사이에 값을 무조건 갖게 됩니다. 그러면 최대 최소치에 대한 가격은 나오게 되었고, 약 한달이내로 단 한번이라도 전일가 대비 3000원 이상 오르거나 떨어진 적이 없었다면, 이제 이렇게 말 할 수 있습니다. 

아주 높은 확률로 삼성전자 주가는 47000원 ~ 53000원 사이게 존재 한다.

물론, 다음날 전쟁이 난다거나 삼성전자에 무슨일이 생겨서 폭락하거나 폭등 할 수도 있겠지만, 일반적이라면 저렇게 대답해도 크게 이상할 것이 없습니다. 

 

여기서 '변동성'의 의미들이 나왔는데, 그중 '역사적변동성'에 의미하는 개념이 바로 '한달 이내로 3000원 이상 떨어진 적이 없다'는 표현입니다. 이 표현을 말로하면 저렇게 되고 수학적으로 표현하면, 한달 동안의 삼성전자의 주가의 정보를 바탕으로 평균가격에서 얼만큼 떨어졌는지 분산을 계산하는것이 '변동성'입니다. 계산하는 방법은 Log 수익률을 바탕으로 계산을 하게 됩니다. 또 이게 은근히 쉽습니다. 딱 5일치 정보에 대한 변동성을 구해봅시다.

 

( 참고로 종가는 장이 마감되었을때의 주식 가격입니다. )

- 1일차 삼성전자의 종가 : 50000원

- 2일차 삼성전자의 종가 : 50500원

- 3일차 삼성전자의 종가 : 49800원

- 4일차 삼성전자의 종가 : 51000원

- 5일차 삼성전자의 종가 : 50300원

 

( 소수점은 다섯자리에서 그냥 버렸습니다.  )

- 2일차에서 계산한 전일자 대비 로그 수익률 : ln( 50500/50000 ) = -0.00995

- 3일차에서 계산한 전일자 대비 로그 수익률 : ln( 49800/50500 ) = 0.01395

- 4일차에서 계산한 전일자 대비 로그 수익률 : ln( 51000/49800 ) = -0.02381

- 5일차에서 계산한 전일자 대비 로그 수익률 : ln( 50300/51000 ) = 0.01382

 

5일동안의 삼성전자주가 정보로 계산한 로그수익률의 평균

( (-0.00995) + 0.01395 + (-0.02381) + 0.01382 ) / 4 = 0.00599

 

로그수익률의 평균으로 부터 각 해당일의 로그 수익률의 차이의 제곱의 평균을 계산하면

- 2일차 계산 : ( 0.00599 - (-0.00995) )^2 -> 0.0002540836

- 3일차 계산 : ( 0.00599 -    0.01395 )^2 -> 0.0000633616

- 4일차 계산 : ( 0.00599 - (-0.02381) )^2 -> 0.0008880400

- 5일차 계산 : ( 0.00599 -    0.01382 )^2 -> 0.0000613089

- 평균 : ( 0.0002540836 + 0.0000633616 + 0.0008880400 + 0.0000613089 ) / 4 =[무언가나옵니다]

 

그럼 저 결과를 Sqrt ( [무언가나옵니다] x 252 ) 요녀석이 역사적 변동성이 되겠습니다.

쉽죠 (?)